Un autre système avec des lois d'évolution simples qui mène pourtant à des comportements complexes.
Ici les moutons sont gris et les loups sont rouges. Les moutons se reproduisent régulièrement dans le temps. Les loups quant à eux se reproduisent à chaque fois qu'ils mangent un mouton. Ils meurent également naturellement. Loin de trouver une situation d'équilibre, on observe au contraire une variation plus ou moins cyclique et déphasée des populations. Le système peut donner l'impression de se stabiliser et puis reprendre avec des oscillations de grande amplitude, chaotiquement.
voir les Équations de Lotka-Volterra qui modélisent l'interdépendance de l'évolution des populations des deux espèces.
Équation différentielle :
$$
\frac{d}{dt}\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]=\; \left[ \begin{array}{c} x\cdot \left( \alpha \; -\; \beta y \right) \\ -y\cdot \left( \nu \; -\; \delta x \right) \end{array} \right]
$$
avec :
$$ \alpha = taux\ de\ reproduction\ des\ proies\\
\beta = taux\ de\ mortalité\ des\ proies\\
\delta = taux\ de\ reproduction\ des\ prédateurs\\
\nu = taux\ de\ mortalité\ des\ prédateurs\\
x_0= nombre\ de\ proies\ à\ t=0\\
y_0 = nombre\ de\ prédateurs\ à\ t=0\\
$$
On peut tracer cette équation différentielle avec Grapher.app (Mac OS). Il faut veiller à specifier un pas très fin dans Grapher (voir dans l'inspecteur) pour obtenir des cycles périodiques. Sinon, cela diverge à cause de l'accumulation des approximations.
On trace 6 courbes avec des coordonnées de départ, qui varient de 1 à 2 (y0 = x0). 50 unités de temps sont suffisantes pour que chaque courbe reboucle plusieurs fois sur elle-même (à la précision de grapher près).